Кватернионы и кинематические уравнения

Робот манипулятор состоит из трех однородных звеньев OA, AB и BC (тонкие стержни). Звенья соединенны цилиндрическими шарнирами. Первый шарнир соединяет неподвижную опору и звено 1, второй шарнир – звено 1 и звено 2 и третий шарнир – звено 2 и звено 3. Каждый шарнир имеет одну степень свободы. Длины звеньев одинаковы и равны 2 м.

Система координат \(O x_0 y_0 z_0\) неподвижна, система координат \(A x_1 y_1 z_1\) связана с звеном 2, система координат \(B x_2 y_2 z_2\) связана с звеном 3.

Схема 1

• Ориентация системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) относительно системы координат \(O x_0 y_0 z_0\) определяется углом поворота \(\alpha_1\) вокруг оси \(O z_0\) и углом поворота \(\alpha_2\) вокруг оси \(A x_1\).
• Ориентация системы координат \(B x_2 y_2 z_2\) относительно системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) определяется углом поворота \(\alpha_3\) вокруг оси \(B z_2\).

Схема 2

• Ориентация системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) относительно системы координат \(O x_0 y_0 z_0\) определяется углом поворота \(\alpha_1\) вокруг оси \(O x_0\) и углом поворота \(\alpha_2\) вокруг оси \(A z_1\).
• Ориентация системы координат \(B x_2 y_2 z_2\) относительно системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) определяется углом поворота \(\alpha_3\) вокруг оси \(B x_2\).

Схема 3

• Ориентация системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) относительно системы координат \(O x_0 y_0 z_0\) определяется углом поворота \(\alpha_1\) вокруг оси \(O y_0\) и углом поворота \(\alpha_2\) вокруг оси \(A x_1\).
• Ориентация системы координат \(B x_2 y_2 z_2\) относительно системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) определяется углом поворота \(\alpha_3\) вокруг оси \(B z_2\).

Схема 3

• Ориентация системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) относительно системы координат \(O x_0 y_0 z_0\) определяется углом поворота \(\alpha_1\) вокруг оси \(O y_0\) и углом поворота \(\alpha_2\) вокруг оси \(A x_1\).
• Ориентация системы координат \(B x_2 y_2 z_2\) относительно системы координат \(A x_1 y_1 z_1\) определяется углом поворота \(\alpha_3\) вокруг оси \(B z_2\).

На рисунках изображены положения звеньев при нулевых углах поворота систем координат друг относительно друга.

Известны функции изменения углов поворота звеньев от времени: \(\alpha_1(t)\), \(\alpha_2(t)\), \(\alpha_3(t)\).

1. Запишите матричное выражение для координатного столбца вектора абсолютной угловой скорости звена 3 в системе координат \(B x_2 y_2 z_2\). Вычислите координатный столбец абсолютной угловой скорость звена 3 в системе координат \(B x_2 y_2 z_2\) через 3 с после начала движения.
2. Запишите матричное выражение для координатного столбца вектора абсолютной скорости центра масс звена 3 (точка \(C_3\)) в неподвижной системе координат. Вычислите координатный столбец абсолютной скорость центра масс звена 3 в системе координат \(B x_2 y_2 z_2\) через 3 с после начала движения.
3. Определите параметры Родрига-Гамильтона, определяющие ориентацию системы координат \(B x_2 y_2 z_2\) относительно системы координат \(O x_0 y_0 z_0\) через 3 секунды после начала движения.
4. Используя результаты п. 3 определите координаты вектора \(\vec{BC}\) в системе координат \(O x_0 y_0 z_0\).

Варианты (номер варианта определяется по номеру в ведомости)