Преобразования координат

Условия

В некоторый момент времени \(t\) известна ориентация базиса \(C x_c y_c z_c\), связанного с орбитальной ступенью ракеты-носителя, относительно стартовой системы координат \(S x_s y_s z_s\), расположенной на поверхности Земли: ориентация базиса ступени \(C x_c y_c z_c\) относительно \(S x_s y_s z_s\) задается тремя плоскими поворотами последовательности ZY’X’’:

1. на угол тангажа \(\vartheta\) вокруг оси \(z\);
2. затем на угол рыскания \(\psi\) вокруг новой оси y;
3. на угол крена \(\varphi\) вокруг новой оси x.

Стартовая система координат расположена на поверхности Земли. Положение стартовой системы координат определяется относительно геоцентрической инерциальной системы координат \(E x_e y_e z_e\). Ось \(E z_e\) совпадает с осью вращения Земли и направлена из центра Земли к северному полюсу. Ось \(E x_e\) лежит в плоскости экватора и в рассматриваемый момент времени пересекает нулевой меридиан.

Положение начала стартовой системы координат (точка S) определяется широтой B и долготой L. Ось \(S y_s\) стартовой системы координат направлена по нормали к поверхности Земли вверх, ось \(S x_s\) лежит в плоскости местного горизонта, при этом угол между осью \(S x_s\) и направлением на север в этой же плоскости (азимут) равен А (положительное направление - вращение в сторону востока).

В момент отделения КА известен координатный столбец орбитальной ступени в геоцентрической инерциальной системе координат \(E X_e Y_e Z_e\) - \(\mathbf{r}^{(e)}\) и координатный столбец её скорости в этом же базисе - \(\mathbf{v}^{(e)}\).

Земля рассматривается как сфера с известным радиусом R = 6371 км.

Задание

1. Найдите матрицу преобразования координат из орбитальной подвижной системы координат \(C x_o y_o z_o\) ступени в стартовую систему координат \(S x_s y_s z_s\). Ось \(C x_o\)

2. Найдите угол наклона продольной оси ступени (\(C x_c\)) к плоскости местного горизонта, считая, что при положительном угле наклона проекция орта продольной оси ступени \(C x_c\) на ось направление радиус-вектора центра масс ступени относительно центра Земли положительна.

3. Найдите координатный столбец вектор положения центра масс ступени относительно начала стартовой системы координат \(\vec{SC}\) в проекциях на оси стартовой системы координат.

Шаблон отчета: pdf, LaTeX

Исходные данные

Номер задания соответствует номеру в ведомости

А = 60 градусов; \(\vartheta = -0.1\) рад; \(\psi = 0.2\) рад; \(\varphi = 0.0\) рад.